次のデータは2015年12月末時点の各都道府県内にある映画館のスクリーンの合計数と可住地面積100当たりの薬局数を表したものです。このデータを用いて相関係数を算出すると、「0.82」でした。つまり、映画館のスクリーン数と薬局の数には強い相関があるという結果でした。

出典：総務省統計局 社会生活統計指標－都道府県の指標－2015

しかし、一般的に考えて都道府県ごとの映画館のスクリーン数と可住地面積100当たりの薬局の数は直接的に関係がないような気がします。映画館のスクリーン数が多いから薬局の出店数が増えるわけでも、薬局の数が多いから映画館のスクリーン数が増えるわけでもないためです。このような場合には、「第3の因子」の存在を考慮する必要があります。

上のデータに各都道府県の人口密度のデータを加えてみます。

出典：総務省統計局 社会生活統計指標－都道府県の指標－2015

人口密度と映画館のスクリーン数、及び人口密度と薬局の数の相関係数はそれぞれ「0.85」と「0.98」でした。つまり、人口密度がスクリーン数と薬局の数それぞれと強い相関を持っているため、これらの影響を除いた上で映画館のスクリーン数と薬局の数との相関関係を調べる必要があります。

映画館のスクリーン数と薬局の数のような相関関係のことを「見かけ上の相関」や「疑似相関」といいます。見かけ上の相関がある場合は、相関係数ではなく第3の因子の影響を除いた相関係数である「偏相関係数」を用いて相関関係を評価します。1つ目の因子をx、2つ目の因子をy、3つ目の因子をzとおき、xとyの相関係数を、yとzの相関係数を、zとxの相関係数をとします。これらを用いると、zの影響を除いたxとyの偏相関係数を次の式から求められます。

上のデータの映画館のスクリーン数、薬局の数、人口密度をそれぞれx、y、zとおくと、相関係数はそれぞれ、、となるので、偏相関係数は「-0.13」となります。

この結果から、映画館のスクリーン数と薬局の数との相関は、実はあまり強くないことが分かります。

指数とは、数値の変化や大小を比率として表したものです。指数の中には物価の変動を表す「物価指数/価格指数」があり、基準年の物価を100として比較年の物価を相対的に比較した値として算出されます。この章では3つの価格指数について説明します。

■ラスパイレス指数

基準年の購入量や取引量等を重みとして算出した価格指数のことを「ラスパイレス指数」といいます。価格と数量を次のように表すとき、ラスパイレス指数は次の式から算出できます。

• ：基準年の価格　　：基準年の数量
• ：比較年の価格　　：比較年の数量

■パーシェ指数

比較年の購入量や取引量等を重みとして算出した価格指数のことを「パーシェ指数」といいます。パーシェ指数は次の式から算出できます。

■フィッシャー指数

ラスパイレス指数とパーシェ指数の幾何平均によって算出されます。

例題：

ある食べ物A, B, Cに関して次のようなデータがある場合に、ラスパイレス指数、パーシェ指数、フィッシャー指数を算出してみます

• ラスパイレス指数

• パーシェ指数

• フィッシャー指数

いずれの指数においても100を超えていることから、食べ物A, B, Cの価格は基準年と比較して比較年と比較して上昇したといえます。

今年のお祭りもそろそろ終わり。締めくくりは夜空に広がる大輪の花。猫稲荷神社の花火は、ここ福猫県内で行われる10のお祭りのうち最大の規模を誇ります。

このデータから4-2章で学んだ四分位数を求めると次のようになります。

このデータから「箱ひげ図」を描いてみます。箱ひげ図とは、データの分布を「箱」と「ひげ」で表したグラフのことで、データの分布の様子をおおざっぱに把握することができます。

■箱を描く

まず、箱ひげ図の「箱」の部分を描きます。箱を描くためには「第一四分位数」、「第二四分位数（中央値）」、「第三四分位数」の情報を使います。

箱の下端が「第一四分位数」を、箱の上端が「第三四分位数」を、箱の中央を横切る線が「第二四分位数（中央値）」を表します。

■ひげを描く

次に、箱の上と下に「ひげ」を描きます。ひげの長さは、箱の高さ（四分位範囲）の1.5倍以下の範囲にあるデータの中で、

• 上端は最も大きいデータまで
• 下端は最も小さいデータまで

となります。

■外れ値を描く

最後に、ひげの範囲から外れたデータを「〇」もしくは「×」で示します。このようなデータは「外れ値」とよばれます。このデータでは、「猫稲荷神社夏祭り」の総打ち上げ数「2800」が外れ値となります。

箱ひげ図は、別のデータセットと同じグラフ上に描くことができます。このようなグラフを作成すると、それぞれのデータの分布を視覚的に比較することができます。

【夕方は走って登ってジャンプ】夕方、日が落ちて涼しくなってくると猫たちにとってのゴールデンタイムが始まります。空き地で追いかけっこ、木登り、虫取り。

次の表は、空き地にある猫たちが大好きな木の高さをまとめたものです。

まず、平均値と標準偏差を求めます。

この表を見ると、高さのばらつきが一番大きいのは「枝が立派な木」であることが分かります。ただし、3種類の木の高さの平均値が大きく異なることから、平均値に対する標準偏差の大きさを比較するほうが良い場合があります。

この、平均値に対するデータとばらつきの関係を相対的に評価するための値のことを「変動係数」といいます。変動係数は次の式から求められます。

変動係数＝標準偏差÷平均値

この式を使って、それぞれの木の変動係数を求めてみます。

枝が立派な木の変動係数=1.4÷13.5=0.1

赤い実がなる木=1.0÷4.3=0.2

大きな葉っぱの木=0.4÷1.1=0.3

この結果をまとめると次のようになります。

変動係数を計算すると、平均値に対しては大きな葉っぱの木の高さが最も相対的にばらつきが大きいという結果になりました。

日が落ちて境内のメインステージではカラオケ大会が始まりました。赤い提灯がステージ上の猫たちを一層盛り上げているようです。

■四分位数

次の表はカラオケ大会のプログラムです。今年のカラオケ大会には全部で11匹のエントリーがありました。このプログラムの楽曲の時間から四分位数を求めてみます。

「四分位数（しぶんいすう）」とはデータを小さい順に並び替えたときに、データの数で4等分した時の区切り値のことです。4等分すると3つの区切りの値が得られ、小さいほうから「25パーセンタイル（第一四分位数）」、「50パーセンタイル（中央値）」、「75パーセンタイル（第三四分位数）」とよびます。

また、75パーセンタイル（第三四分位数）から25パーセンタイル（第一四分位数）を引いた値を「四分位範囲」とよびます。

■四分位数の求め方（データの数が奇数個の場合）

1. 中央値を求める

データの数は全部で11個なので、小さい順に並べ替えたときの6番目の値が中央値になります。したがって「3.8」です。

2.2

2.8

3.0

3.4

3.5

3.8

4.0

4.2

4.2

4.7

5.5

2. 中央値でデータを2つに分ける

小さい値のグループと大きい値のグループに分けます。ただし、データの数が奇数であり、中央値である6番目の値「3.8」はどちらかのグループに分けることができないため、「3.8」を除いて2つのグループに分けます。それぞれのグループには5個ずつのデータが含まれています。

【小さい値のグループ】

2.2

2.8

3.0

3.4

3.5

【大きい値のグループ】

4.0

4.2

4.2

4.7

5.5

3. 2つに分けたデータのうち小さい値のグループを使って中央値を求める

データの数は全部で5個なので、小さい順に並べ替えたときの3番目の値が中央値になります。したがって「3.0」です。

【小さい値のグループ】

2.2

2.8

3.0

3.4

3.5

4. 2つに分けたデータのうち大きい値のグループを使って中央値を求める

データの数は全部で5個なので、小さい順に並べ替えたときの3番目の値が中央値になります。したがって「4.2」です。

【大きい値のグループ】

4.0

4.2

4.2

4.7

5.5

これらをまとめると、四分位数は次のようになります。

ところが、11番目の楽曲が終わるころ、なんと12番目に飛び入り参加がありました。12個のデータを使ってもう一度四分位数を求めなおしてみます。

■四分位数の求め方（データの数が偶数個の場合）

1. 中央値を求める

データの数は全部で12個なので、小さい順に並べ替えたときの6番目と7番目の値の平均値が中央値になります。したがって「{3.8+4.0}÷2=3.9」です。

2.2

2.8

3.0

3.4

3.5

3.8

4.0

4.2

4.2

4.6

4.7

5.5

2. 半分に分ける

小さい値のグループと大きい値のグループに分けます。データの数は偶数の12個なので、6番目の値「3.8」は小さい値のグループに、7番目の値「4.0」は大きい値のグループに分けられます。それぞれのグループには6個ずつのデータが含まれています。

【小さい値のグループ】

2.2

2.8

3.0

3.4

3.5

3.8

【大きい値のグループ】

4.0

4.2

4.2

4.6

4.7

5.5

3. 2つに分けたデータのうち小さい値のグループを使って中央値を求める

データの数は全部で6個なので、小さい順に並べ替えたときの3番目の値と4番目の値の平均値が中央値になります。したがって「{3.0+3.4}÷2=3.2」です。

【小さい値のグループ】

2.2

2.8

3.0

3.4

3.5

3.8

4. 2つに分けたデータのうち大きい値のグループを使って中央値を求める

データの数は全部で6個なので、小さい順に並べ替えたときの3番目の値と4番目の値の平均値が中央値になります。したがって「「{4.2+4.6}÷2=4.4」」です。

【大きい値のグループ】

4.0

4.2

4.2

4.6

4.7

5.5

これらをまとめると、四分位数は次のようになります。