5-3. 変動係数を求めてみよう

4-2. 四分位数を見てみよう

1. 통계적 추정이란?

 통계적 추정이란 아래의 그림처럼 모집단에서 샘플링한 표본들의 통계량을 통해 역으로 모집단을 추정하는 것을 의미한다.

2. 통계적 추정의 이론적 근거 - 큰수의 법칙

이는 t분포에서도 마찬가지이므로 직접 해보길 바란다.

3. 표본평균의 평균 표준편차 분산의 개념 다지기

표본1, 표본2...은 1에서 설명된 작은 원으로 샘플링된 하나하나와 동일하다.

4. Z분포와 Z분포의 예

ⅰ. Z분포란

ⅱ. Z분포의 예

어떤 모집단에서 n=10인 표본을 샘플링 했을 때, 아래와 같았다고 한다.

이때, 표본평균이 2.2 이고 모집단의 포본평균σ이 1.1로 알려져 있다고 할때 95%로 모평균을 추정하라.

5.t분포와 t분포의 예

ⅰ.t분포란

t분포는 Z분포와 매우 흡사하나 Z분포는 모집단의 표본평균σ이 알려있을 때 사용하는 반면, t분포는 모집단의 표본평균σ이 알려져 있지 않을 때도 표본포준편차 S를 이용하여 모집단을 추정할 수 있다.

ⅱ.예

어떤 모집단에서 n=10인 표본을 샘플링 했을 때, 아래와 같았다고 한다.

이때, 표본평균이 2.2 이고, 표본표준편차 S가 0.8이고 모집단의 포본평균σ이 미지라고 할때, 95%로 모평균을 추정하라. 

ⅲ. t분포표 보는법

위 문제에서 95%로 추정하기 위해서는 t분포표가 필요하며, t분포표를 보는 법은 표준정규분포표와 매우 상이하기 때문에 따로 알아둘 필요가 있다.

위에서 V는 자유도를 의미하는데 자유도란 쉽게 설명하면 n-1을 의미한다. 따라서 위의 예의 자유도는 10-1 = 9 가 된다. 위의 예를 통해 분포표를 분석해보자.

6.카이제곱분포와 카이제곱분포의 예

ⅰ.카이제곱분포란

카이제곱분포는 n과 표본표준편차S를 통해서 모표본평균σ을 추정할 수 있는 도구이다.  

ⅱ.예

어떤 모집단에서 n=10인 표본을 샘플링 했을 때, 아래와 같았다고 한다.

이때, 표본평균이 2.2 이고, 표본표준편차 S가 0.8일때 모분산σ^2을 95%로 추정하라.

ⅲ. 카이제곱분포표 보는법

t분포표보는 법을 이해했다면 카이제곱분포표를 보는 법도 거의 동일하다. 단, 카이제곱분포는 0을 중심으로 대칭이 아닌 0부터 시작하는 비대칭의 분포라는 사실을 인지해야한다.

1.  정규분포의 정의와 성질

2. 정규분포의 평균과 분산 증명  (평균을 뮤μ로 표현)

ⅰ. E(X)

ⅱ. V(X) - 증명생략

2. 표준정규분포 - 정규분포의 표준화

 정규분포의 표준화는 다음과 같은 경우 사용된다. 한국의 한 대학교에서 경제학과목 90점을 받은 A학생과 일본의 한 대학교에서 경제학과목 90점을 받은 B학생이 있다. 이둘은 경제학과목에서 같은 90점을 받았지만, 각각 시험에 응시한 학생들의 수준이나 시험의 난이도에 따라 같은 90점이 아닐 수 있다. 한 학교는 시험이 어려워서 90점이 최고점수인 반면 다른학교는 시험이 쉬워서 90점을 득점한 학생이 많을 수도 있기 때문이다. 따라서, 이러한 경우에는 90점이라는 점수가 각각의 시험에서 상위 몇 %에 해당하는지에 대한 "상대값"을 통하여만 비교가 가능하다. 이때 각각의 시험은 모두 평균, 분산, 표준편차 등이 다른데 서로 다른 대상을 표준화하여 비교를 용이하게 하기 위해 고안한 방법의 「확률변수의 표준화」이다.

→ 어떤 확률변수X가 X~N(m,σ2)을 따른다고 할 때,Z~N(0,1)인 표준정규분포로 표현할 수 있다.

ⅰ. 확률변수의 표준화의 예

한국, 일본의 평균 초봉은 각각 250만원, 23만엔이고, 표준편차가 각각 15만원, 3만엔인 정규분포를 따른다고한다. 이때 한국에서 280만원을 받는 사람과 일본에서 26만엔을 받는 사람중 어느 사람이 상대적으로 더 많은 월급을 받는다고 할 수 있는가?

1. 푸아송분포에서 지수분포를 유도하는 과정

http://blog.naver.com/dyner/100185281726

2. 지수분포

어떤 독립적 사건이 푸아송분포에 의해서 발생될 때, 지정된 시점으로부터 이 사건이 일어날 때 까지 걸린 시간을 측정하는 분포를 지수분포라 한다. 그러나 이러한 딱딱한 언어적 의미만으로는 잘 다가오지 않으며 먼저 푸아송분포에서 지수분포를 유도하는 과정과 지수분포의 예를 보면 이해가 더 쉽다.

ⅰ. 지수분포의 확률함수

ⅱ. 지수분포의 확률 P[X≤x]

3. 지수분포의 평균과 분산유도

ⅰ. E(x)

ⅱ. V(x)-유도과정 생략

4. 지수분포의 예제1

 한 사무실에는 전화가 평균 10 분에 5번 걸려온다. 이 사무실에서 전화가 걸려온 때부터 다음 전화가 걸려올 때 까지 걸린 시간을 분으로 측정하는 확률분포를 구한다.

ⅰ. 우선 단위 시간당 걸려오는 전화대수를 계산해야 한다. 평균 1분에 0.5 대꼴로 걸려온다고 할수 있다.

  가 되며 전화가 한번 걸려온 후에 다음 전화가 걸려올때까지 걸린 시간은  인 지수분포를 따른다.

 ⅱ. 한번 전화가 걸려온 후에 다음 전화가 걸려올떄까지 걸린 시간이 5분이내일 확률

 ⅲ. 다음전화가 걸려올 때 까지 걸린 시간이 2 분 이상일 확률

5. 지수분포 예제2

어느 공장의 기계는 평균 1 개월에 3번씩 고장을 일으킨다. 기계가 고장나서 고친 후에 다시 고장이 발생될 때까지

걸리는 시간을 측정하는 분포를 구하고 2개월이내에는 고장나지 않을 확률을 구하라.

ⅰ. 시간의 기본단위를 개월로 할 때  에서 이므로 이다. 한번 고장이 난후에 다음 고장이 발생될때까지 걸리는 시간을 나타내는 확률 변수를 T 라 할 때 T 는 평균이 3 인 지수분포를 따르며

 ⅱ.한번 고장이 난후에 2 개월 이내에는 다시 고장이 발생되지 않을 확률은

 ※지수분포의 예제 부분은 http://blog.naver.com/lucifer246/190685947 수정

1. 균등분포(一様分布、 Uniform distribution)

 연속확률분포 중 특정 구간 내의 값들이 나타날 가능성이 균등한 분포.

2. 균등분포의 성질

ⅰ. 모든 연속확률변수의 확률이 동일하므로 사각형모향의 분포도가 나온다.

ⅱ.사각형으로 표시된 확률분포의 가로가 b-a이고 전체 넓이가 1이므로 높이는 1/b-a이다. 

ⅲ.분포함수 f(x) =  1/b-a (단, a≤x≤b)

3. 규등분포의 확률 P[X≤x]

4. E(x), V(x) 도출

ⅰ. E(x)

ⅱ. V(x)

1. 푸아송 분포 (poisson distribution) 

ⅰ. 푸아송분포의 언어적 의미

이산확률분포의 하나로 독립적인 각각의 사건이 발생하는 상한이 정해지지 않은 경우의 확률 분포.

예를 들어, 

1년 동안 여기에 사람이 몇 명이나 올까?

1시간 동안 생산라인을 돌리면 불량품이 몇 개 나올까?

오늘의 출생률은?

이 교차로에서 오늘 사고가 날 확률은?

1제곱킬로미터의 영역 내에 특정 종류의 식물이 몇개나 발견될까?

처럼, 각각의 사건은 독립적이지만 발생의 상한이 정해지지 않은 확률분포를 의미한다.

ⅱ.푸아송분포의 확률분포

구간 내의 평균 발생 횟수를 람다λ 라고 하면,

이때 푸아송 분포는 이산확률분포이기 때문에 P(x)에 대하여 확률 표현이 가능하다. (무슨 말이냐하면, 이산확률분포가 아닌 연속확률분포에서는 P(x) = 0 이라는 것을 말하고 싶은 것)

ⅲ. 푸아송 분포의 분포함수(푸아송분포의 확률질량함수)

ⅳ. 푸아송함수의 E(x), V(x) 도출

①E(x)

②V(x) = E(x^2) - {E(x)}^2

ⅴ. 푸아송 분포의 예제

어느 교차로에는 한달 (30일) 평균 30건의 사고가 발생한다고 할 때, 다음의 물음에 답하여라

①한달에 20건의 사고가 발생할 확률

한달 평균 30건의 사고가 발생하므로 λ = 30이라고 둘 수 있다.

②하루에 2건 이상의 사고가 발생할 확률

하루평균 1건의 상고가 발생하므로 λ = 1이라고 둘 수 있다.

※예제에서 볼 수 있는 바와 같이, 문제에서 제시된 단위를 풀이에 필요한 λ의 단위로 환산하는 것에 주의한다.

그림1. λ = 30일때 푸아송분포의 확률질량함수

2. 베르누이분포(Bernoulli Distribution)

 변수가 2종류 (성공 or 실패) 밖에 존재하지 않는 실험에서 사용하는 분포. 예를 들면, 동전을 단한번 던지는 실험에서 앞면에 나오면 1, 뒷면이 나오면 0 이라고 할때 이는 베르누이의 분포에 해당한다.

ⅰ. 베르누이 분포의 확률질량함수

ⅱ. 베르누의 분포의 평균과 분산

평균 : p

분산 : pq

3. 이항분포

 각 시행이 독립적인 베르누이 시행이 n회 반복해서 시행된 것.

(이항분포는 고등학교에서도 다루는 내용이므로 이하내용생략)

헷갈리는 통계 기본 용어 사전

*변수 : 하나하나의 사건을 나타내는 말. 예를 들어, 주사위에 6개의 사건 1,2,3,4,5,6 이 있을 때 1~6은 각 하나의 변수이다.

*도수 : 사건이 거듭하는 횟수. 주사위를 3번 던져서 1이 두번 나올 때 1이나온 사건의 도수는 2이다.

*도수분포 : 각 변수가 등장한 횟수만큼의 도수를 표로 나타낸 것.

*확률변수 : 표본공간 내에서 변수 X가 취할 수 있는 각 값에 확률이 정해져 있을때 변수 X를 확률이 딸려있는 변수라하여 확률변수라고 부른다. 가령 주사위에서 변수 x=1은 확률변수 X이자 그 확률은 1/6이다.

*이산확률변수 : 확률변수 X는 X가 서로 떨어져 있는 값을 취하는 변수일때 이를 이산확률변수 라고 한다. 가령, 주사위의 눈같은 경우 각 확률변수 1,2,3,4,5,6은 서로 떨어져 구분된다.

*연속확률변수 : 확률변수 X가 서로 연속적으로 어떤 구간안에 있을 경우 그 변수들을 연속확률변수라고 한다. 가령, 시간, 키, 온도 등이 예로 들어질 수 있다.

*확률분포 : 확률변수 X가 취하는 변수xi와 X가 취하는 확률 pi의 대응 관계를 나타낸 것을 확률 분포라고 한다. 예를 들어, 주사위를 던질때 1의 확률은 1/6, 2의 확률은 1/6 . . . 6의 확률은 1/6 일때 각 변수와 확률관의 관계를 분포표위에 나타낸 것을 의미한다.

*이산확률분포 : 확률변수 x가 이산변수 일때의 분포. 베르누이분포, 이항분포, 다항분포, 푸아송분포 등이 이에 해당.

*연속확률분포 : 확률변수x가 연속변수 일때의 분포. 균일분포, 정규분포, 표준정규분포, 지수분포, 감마분포등이 이에 해당

*확률분포함수 : 어떤 사건이 존재할 때 각 변수의 확률분포에 의해서 만들어지는 분포전체의 모양을 확률함수 라고 한다.

*확률질량함수 : 이산확률변수에 의한 확률분포 함수.

*확률밀도함수 : 연속확률변수에 의한 확률분포 함수. x축과 확률밀도함수 사이의 넓이의 합은 1이며, 각 구간은 구간의 확률을 나타낸다.

	TIP	확률분포와 확률분포함수의 개념 구분
확률분포와 확률분포함수의 개념이 특히나 헷갈릴 수 있으므로 보충하여 설명하기로 한다. 결론부터 말하면, 확률분포와 확률분포함수는 변수가 이산이냐 연속이냐에 의해 총 네가지로 구분된다.     이산확률변수  연속확률변수  확률분포  이산확률분포  연속확률분포  확률분포함수  확률질량함수  확률밀도함수  아래의 푸아송 분포의 확률질량함수와 정규분포의 확률밀도함수를의 그래프를 통해 위 네가지를 구분해보자. 그림1. λ = 30일때 푸아송분포의 확률질량함수 ①변수 X가 이산확률변수 일 때, 이산확률분포는 P(X)로 표현되며, 그림1에서 하나하나의 변수에 따른 각각의 파란 막대를 의미하는 개념이다.  확률질량함수는 F(X),f(X)로 표현되며, 모든 확률분포가 더해져 만들어진 전체를 나타내는 개념으로 ∑P(X)이다.  그림2. 어떤 사건의 확률밀도함수(정규분포) ②변수 X가 연속확률변수 일 때, 연속확률분포는 P(X)로는 표현될 수없다. 왜냐하면 각 변수가 이산이 아닌 연속이기 때문에 P(X)=0이기 때문이다. 대신 연속확률분포는 구간으로 표현이 가능한데 처럼 나타낼 수 있다. 확률밀도함수는 F(X),f(X)로 표현되며, 확률밀도함수를 적분하여 연속확률분포를 표현한다.

*균등분포(일양분포) : 연속확률분포 중 구간내의 값들이 나타날 가능성이 균등한 분포. 확률밀도함수가 사각형의 모양을 띈다.