[경제통계]이산확률분포 - 푸아송분포,평균분산도출,푸아송분포의예제, 베르누이분포, 이항분포

1. 푸아송 분포 (poisson distribution) 

ⅰ. 푸아송분포의 언어적 의미

이산확률분포의 하나로 독립적인 각각의 사건이 발생하는 상한이 정해지지 않은 경우의 확률 분포.

예를 들어, 

1년 동안 여기에 사람이 몇 명이나 올까?

1시간 동안 생산라인을 돌리면 불량품이 몇 개 나올까?

오늘의 출생률은?

이 교차로에서 오늘 사고가 날 확률은?

1제곱킬로미터의 영역 내에 특정 종류의 식물이 몇개나 발견될까?

처럼, 각각의 사건은 독립적이지만 발생의 상한이 정해지지 않은 확률분포를 의미한다.

ⅱ.푸아송분포의 확률분포

구간 내의 평균 발생 횟수를 람다λ 라고 하면,

이때 푸아송 분포는 이산확률분포이기 때문에 P(x)에 대하여 확률 표현이 가능하다. (무슨 말이냐하면, 이산확률분포가 아닌 연속확률분포에서는 P(x) = 0 이라는 것을 말하고 싶은 것)

ⅲ. 푸아송 분포의 분포함수(푸아송분포의 확률질량함수)

ⅳ. 푸아송함수의 E(x), V(x) 도출

①E(x)

②V(x) = E(x^2) - {E(x)}^2

ⅴ. 푸아송 분포의 예제

어느 교차로에는 한달 (30일) 평균 30건의 사고가 발생한다고 할 때, 다음의 물음에 답하여라

①한달에 20건의 사고가 발생할 확률

한달 평균 30건의 사고가 발생하므로 λ = 30이라고 둘 수 있다.

②하루에 2건 이상의 사고가 발생할 확률

하루평균 1건의 상고가 발생하므로 λ = 1이라고 둘 수 있다.

※예제에서 볼 수 있는 바와 같이, 문제에서 제시된 단위를 풀이에 필요한 λ의 단위로 환산하는 것에 주의한다.

그림1. λ = 30일때 푸아송분포의 확률질량함수

2. 베르누이분포(Bernoulli Distribution)

 변수가 2종류 (성공 or 실패) 밖에 존재하지 않는 실험에서 사용하는 분포. 예를 들면, 동전을 단한번 던지는 실험에서 앞면에 나오면 1, 뒷면이 나오면 0 이라고 할때 이는 베르누이의 분포에 해당한다.

ⅰ. 베르누이 분포의 확률질량함수

 

ⅱ. 베르누의 분포의 평균과 분산

평균 : p

분산 : pq

3. 이항분포

 각 시행이 독립적인 베르누이 시행이 n회 반복해서 시행된 것.

(이항분포는 고등학교에서도 다루는 내용이므로 이하내용생략)