1. 균등분포(一様分布、 Uniform distribution)

 연속확률분포 중 특정 구간 내의 값들이 나타날 가능성이 균등한 분포.

2. 균등분포의 성질

ⅰ. 모든 연속확률변수의 확률이 동일하므로 사각형모향의 분포도가 나온다.

ⅱ.사각형으로 표시된 확률분포의 가로가 b-a이고 전체 넓이가 1이므로 높이는 1/b-a이다. 

ⅲ.분포함수 f(x) =  1/b-a (단, a≤x≤b)

3. 규등분포의 확률 P[X≤x]

4. E(x), V(x) 도출

ⅰ. E(x)

ⅱ. V(x)

1. 푸아송 분포 (poisson distribution) 

ⅰ. 푸아송분포의 언어적 의미

이산확률분포의 하나로 독립적인 각각의 사건이 발생하는 상한이 정해지지 않은 경우의 확률 분포.

예를 들어, 

1년 동안 여기에 사람이 몇 명이나 올까?

1시간 동안 생산라인을 돌리면 불량품이 몇 개 나올까?

오늘의 출생률은?

이 교차로에서 오늘 사고가 날 확률은?

1제곱킬로미터의 영역 내에 특정 종류의 식물이 몇개나 발견될까?

처럼, 각각의 사건은 독립적이지만 발생의 상한이 정해지지 않은 확률분포를 의미한다.

ⅱ.푸아송분포의 확률분포

구간 내의 평균 발생 횟수를 람다λ 라고 하면,

이때 푸아송 분포는 이산확률분포이기 때문에 P(x)에 대하여 확률 표현이 가능하다. (무슨 말이냐하면, 이산확률분포가 아닌 연속확률분포에서는 P(x) = 0 이라는 것을 말하고 싶은 것)

ⅲ. 푸아송 분포의 분포함수(푸아송분포의 확률질량함수)

ⅳ. 푸아송함수의 E(x), V(x) 도출

①E(x)

②V(x) = E(x^2) - {E(x)}^2

ⅴ. 푸아송 분포의 예제

어느 교차로에는 한달 (30일) 평균 30건의 사고가 발생한다고 할 때, 다음의 물음에 답하여라

①한달에 20건의 사고가 발생할 확률

한달 평균 30건의 사고가 발생하므로 λ = 30이라고 둘 수 있다.

②하루에 2건 이상의 사고가 발생할 확률

하루평균 1건의 상고가 발생하므로 λ = 1이라고 둘 수 있다.

※예제에서 볼 수 있는 바와 같이, 문제에서 제시된 단위를 풀이에 필요한 λ의 단위로 환산하는 것에 주의한다.

그림1. λ = 30일때 푸아송분포의 확률질량함수

2. 베르누이분포(Bernoulli Distribution)

 변수가 2종류 (성공 or 실패) 밖에 존재하지 않는 실험에서 사용하는 분포. 예를 들면, 동전을 단한번 던지는 실험에서 앞면에 나오면 1, 뒷면이 나오면 0 이라고 할때 이는 베르누이의 분포에 해당한다.

ⅰ. 베르누이 분포의 확률질량함수

ⅱ. 베르누의 분포의 평균과 분산

평균 : p

분산 : pq

3. 이항분포

 각 시행이 독립적인 베르누이 시행이 n회 반복해서 시행된 것.

(이항분포는 고등학교에서도 다루는 내용이므로 이하내용생략)

헷갈리는 통계 기본 용어 사전

*변수 : 하나하나의 사건을 나타내는 말. 예를 들어, 주사위에 6개의 사건 1,2,3,4,5,6 이 있을 때 1~6은 각 하나의 변수이다.

*도수 : 사건이 거듭하는 횟수. 주사위를 3번 던져서 1이 두번 나올 때 1이나온 사건의 도수는 2이다.

*도수분포 : 각 변수가 등장한 횟수만큼의 도수를 표로 나타낸 것.

*확률변수 : 표본공간 내에서 변수 X가 취할 수 있는 각 값에 확률이 정해져 있을때 변수 X를 확률이 딸려있는 변수라하여 확률변수라고 부른다. 가령 주사위에서 변수 x=1은 확률변수 X이자 그 확률은 1/6이다.

*이산확률변수 : 확률변수 X는 X가 서로 떨어져 있는 값을 취하는 변수일때 이를 이산확률변수 라고 한다. 가령, 주사위의 눈같은 경우 각 확률변수 1,2,3,4,5,6은 서로 떨어져 구분된다.

*연속확률변수 : 확률변수 X가 서로 연속적으로 어떤 구간안에 있을 경우 그 변수들을 연속확률변수라고 한다. 가령, 시간, 키, 온도 등이 예로 들어질 수 있다.

*확률분포 : 확률변수 X가 취하는 변수xi와 X가 취하는 확률 pi의 대응 관계를 나타낸 것을 확률 분포라고 한다. 예를 들어, 주사위를 던질때 1의 확률은 1/6, 2의 확률은 1/6 . . . 6의 확률은 1/6 일때 각 변수와 확률관의 관계를 분포표위에 나타낸 것을 의미한다.

*이산확률분포 : 확률변수 x가 이산변수 일때의 분포. 베르누이분포, 이항분포, 다항분포, 푸아송분포 등이 이에 해당.

*연속확률분포 : 확률변수x가 연속변수 일때의 분포. 균일분포, 정규분포, 표준정규분포, 지수분포, 감마분포등이 이에 해당

*확률분포함수 : 어떤 사건이 존재할 때 각 변수의 확률분포에 의해서 만들어지는 분포전체의 모양을 확률함수 라고 한다.

*확률질량함수 : 이산확률변수에 의한 확률분포 함수.

*확률밀도함수 : 연속확률변수에 의한 확률분포 함수. x축과 확률밀도함수 사이의 넓이의 합은 1이며, 각 구간은 구간의 확률을 나타낸다.

	TIP	확률분포와 확률분포함수의 개념 구분
확률분포와 확률분포함수의 개념이 특히나 헷갈릴 수 있으므로 보충하여 설명하기로 한다. 결론부터 말하면, 확률분포와 확률분포함수는 변수가 이산이냐 연속이냐에 의해 총 네가지로 구분된다.     이산확률변수  연속확률변수  확률분포  이산확률분포  연속확률분포  확률분포함수  확률질량함수  확률밀도함수  아래의 푸아송 분포의 확률질량함수와 정규분포의 확률밀도함수를의 그래프를 통해 위 네가지를 구분해보자. 그림1. λ = 30일때 푸아송분포의 확률질량함수 ①변수 X가 이산확률변수 일 때, 이산확률분포는 P(X)로 표현되며, 그림1에서 하나하나의 변수에 따른 각각의 파란 막대를 의미하는 개념이다.  확률질량함수는 F(X),f(X)로 표현되며, 모든 확률분포가 더해져 만들어진 전체를 나타내는 개념으로 ∑P(X)이다.  그림2. 어떤 사건의 확률밀도함수(정규분포) ②변수 X가 연속확률변수 일 때, 연속확률분포는 P(X)로는 표현될 수없다. 왜냐하면 각 변수가 이산이 아닌 연속이기 때문에 P(X)=0이기 때문이다. 대신 연속확률분포는 구간으로 표현이 가능한데 처럼 나타낼 수 있다. 확률밀도함수는 F(X),f(X)로 표현되며, 확률밀도함수를 적분하여 연속확률분포를 표현한다.

*균등분포(일양분포) : 연속확률분포 중 구간내의 값들이 나타날 가능성이 균등한 분포. 확률밀도함수가 사각형의 모양을 띈다.

귀류법歸謬法

 1. 귀류법의 정의

 귀류법이란,「P이면 Q이다」라는 명제에서 그 명제의 결론부분을 부정함으로써 생겨나는 새로운 귀류명제

「P이면 Q가 아니다」에서 생기는 모순을 증명하여 본명제가 참임을 증명하는 방법이다. 

 보통 귀류명제의 모순을 밝히기 위해서, 가정부분에 모순되는 점을 발견하거나 문제에 전제로 제시된 부분과 모순되는 점을 발견하여 귀류명제가 거짓임을 증명하는 경우가 많다.

※「P이면 Q이다」에서 P는 가정, Q는 결론

2. 귀류법의 예

「효용의 합을 최대로 하는 배분이면 팔레트 효율적 분배이다」라는 명제가 참임을 밝히시오.

ⅰ.조건설정

한 시장에서 A, B, C 3명이 존재하고 한 사람이 부담하는 부담액을 Gi, 부담후 남은 금액을 Xi, 공공재의 공급량 
y=GA+GB+Gc라고 한다.

ⅱ.귀류법을 통한 증명

「효용의 합을 최대로 하는 배분이면 팔레트 효율적 분배이다」라는 명제를 증명하여야하므로, 

가정 : 효용의 합을 최대로 하는 배분이면

결론 : 팔레트 효율적 분배이다

이므로, 「효용의 합을 최대로 하는 배분이면 팔레트 효율적 분배이다」라는 본명제의 귀류명제는 「효용의 합을 최대로 하는 배분이면 팔레트 효율적 분배가 아니다」이며 이에대한 모순을 증명하면 된다.

따라서,  「효용의 합을 최대로 하는 배분이면 팔레트 효율적 분배가 아니다」라는 귀류명제는 거짓이며 귀류법에 따라 「효용의 합을 최대로 하는 배분이면 팔레트 효율적 분배이다」라는 본명제는 참이다.

3. 귀류법은 항상 옳은가? - 진리표를 통한 귀류법의 해석

ⅰ. (  p  →  q  ) 의 해석

→ 이 기호는 'imply'의 뜻을 가진 논리기호입니다. 앞 조건이 뒤 조건을 만족시킨다는 뜻입니다. 즉, p→q의 의미는 'p는 q를 만족시킨다.' 'p이면 q이다.' 가 됩니다. 이 명제의 참 거짓은 p와 q의 참거짓에 따라 다릅니다. p, q모두 참이면 명제 p→q는 참, p는 참 q가 거짓이면 명제 p→q는 거짓. 가정 p가 거짓이면 결론 q의 진위여부에 상관없이 명제 p→q는 항상참입니다.

예를 들어 아래와 같은 명제가 있다고 합시다.

지진이 나면 새들은 먼저 도망간다.(p : 지진이 난다, q : 새들은 먼저 도망간다)

지진이 났지만(p는 참) 새들이 먼저 도망갔다면(q는 참) 위명제는 참

지진이 났지만(p는 참) 새들이 먼저 도망가지 않았다면(q는 거짓) 위명제는 거짓

지진이 나지 않았지만(p는 거짓) 새들이 먼저 도망갔다면(q는 참) 위명제는 참

지진이 나지 않았지만(p는 거짓) 새들이 먼저 도망가지 않았다면(q는 거짓) 위명제는 참

지진이 일어나지 않았다면(가정 p가 거짓), 새들이 도망가던 도망가지 않던 항상 참이므로.

ⅱ. (  p  ∧ ~q  ) 의 해석

∧  이 기호는 'and'의 뜻을 가진 논리기호입니다. 두 조건을 모두 만족한다는 뜻이죠. 예를 들어 p∧q라는 것은 p이고 q, 즉 두 조건 p,q를 모두 만족하는 경우를 말합니다.

ⅲ. 논리기호(∧, →) 아래에 있는 T, F의 해석

논리기호(∧, →) 아래에 있는 T, F는 양쪽 조건에 따라 결정됩니다. 예를 들어, p∧q 의 진위여부는 p와 q 에 따라 결정되는데 p,q모두 참(T)이면 p∧q도 참(T)이죠? 그외 p, q 둘 중 하나라도 거짓(F)이면 ∧기호는 두조건을 모두 만족한다는 뜻이므로 p∧q가 거짓(F)이죠? 그 결과를 기호 ∧밑에 나타내는 것입니다. 그래서 p∧q의 결과가 4개입니다. TTT, TFF, FFT, FFF

ⅳ. (  p  ∧ ~q  )  →  c 의 해석

귀류법은 결론을 부정하여 가정에 모순됨을 보여 원래의 명제가 참임을 보이는 증명법입니다. 이것을 진리표에 나타내기 위해서 조건 c를 추가합니다. 즉, 명제 p→q에서 결론 부분인 q를 부정해버린 상황을 'p이고 ~q'로 나타낼 수 있겠죠. p∧~q로 표시됩니다. 이제  p∧~q 전체가 가정이 됩니다. 해석하면 p인데 ~q라고 가정하자입니다. 

귀류법이라는 건 결론을 부정했을 때 그에 반하는 반대 논리를 찾아내어 기존 명제가 맞는 것을 증명하는 방법이므로 (  p  ∧ ~q  )  →  c 의 의미는 '(  p  ∧ ~q  ) 일때 어떤 조건에 관해서도 항상 옳다(c)는 것은 거짓이다'라는 얘기를 하고 싶은거죠. 그래서 '어떤 조건에 대해서도 항상 옳다(c)'라는 결론은 항상 F가 됩니다.

(p∧~q)→c

이때, (  p  ∧ ~q  )  →  c에서 →의 진위여부는 ⅰ. (  p  →  q  ) 의 해석에서 설명한 바와 같이 ∧와 c의 진위여부에 따라 결정되는데, 

∧가 참이고 c가 참이면 명제 →는 참

∧가 참이고 c가 거짓이면 명제 →는 거짓

∧가 거짓이고 c가 참이면 명제 →는 참

∧가 거짓이고 c가 거짓이면 명제 →는 참

ⅴ. 전체적인 해석

 논리기호 ⇔(양쪽 화살표)는 양쪽이 동치라는 것입니다. 그래서 양쪽 모두 진위결과가 같으면 기호 ⇔아래로 T(참)로 나타내고 양쪽 진위결과가 다르면 F(거짓)으로 나타냅니다. 문제의 진리표에서 왼쪽 명제 p→q의 진위결과는 기호 →밑에 있는 TFTT이고, 오른쪽 명제 (p∧~q)→c의 진위결과는 기호 →밑에 있는 TFTT이네요. 보니까 진위결과가 같죠? 그래서 두 명제가 동치, 진위결과가 같습니다.

따라서, 귀류법은 항상 옳다.

(출처 : 진위표를 해석하는 부분은 

http://kin.naver.com/qna/detail.nhn?d1id=11&dirId=110403&docId=106770832&qb=6reA66WY67KV7J2AIO2VreyDgQ==&enc=utf8&section=kin&rank=2&search_sort=0&spq=0&pid=STEFBlpySEhsstWbXq4sssssstZ-462742&sid=ny4dI3EJ4r%2BjOU7X4I7e3g%3D%3D

을 개인적으로 부분수정

베이즈정리(Bayes Theorem) 

1. 베이즈 정리의 이해

ⅰ.베이즈 정리의 식도출

 만약 A1, A2 , . . . , An 까지의 표본공간의 분할이 존재할 때(따라서 각 A는 배반사건), 조건부 B에 대한 사건Ai의 사후확률 P(Ai|B)는 P(Ai)와 P(B|Ai)를 이용해서 다음과 같은 공식으로 만들 수 있다. 

 

위식에서, P(B)가 모든 i에 대하여 P(Ai ∩ B)로 나타내어진 과정은 위의 그림을 보면 쉽게 이해할 수 있다.

ⅱ.베이즈 정리의 의의

사전확률 P(A)와 우도P(B|A)를 안다면, 사후확률 P(A|B)까지도 알 수 있다는 것이다.

이때, 

사전확률(prior probability): A(원인)가 발생할 확률이 P(A)인것과 같이, 결과이전에 주어진 확률이다. 

우도(likelihood probability): A(원인)가 발생하였다는 조건하에서 B(결과)가 발생활 확률 P(B | A)을 나타낸다.

사후확률(posterior probability): B(결과)가 발생하였다는 조건하에서 A(원인)가 발생할 확률을 나타낸다.

2. 예시

ⅰ.예시1

 은행의 조사결과 자금반환율이 우수한 경우인 사건 A, 양호한 경우인 사건Ac 에게는 자금을 빌려준다고 한다. A의 비율이 35%이고, Ac의 비율이 65%라고 한다. 또한, A중 5%, Ac중 25%가 자금지급불능 상태에 빠진다고 한다. 이때, 자금지급불능인 상태인 사건을 B라고 하면, 자금지급불능 상태인 사람이, 자금반환율이 우수하다고 판정은 사람일 확률은 얼마인가?

① 언어적으로 제시된 문제를 수식화하기

위에서 문제는 "자금지급불능 상태인 사람이, 자금반환율이 우수하다고 판정받은 사람일 확률" 이다. 이를 수식으로 나타내면 P(A|B) 이다. 

②확률가지

※확률가지에서 매우 중요한 부가설명 

확률가지에서는 확률가지의 2차부분을 상황에 따라 자유롭게 표시할 수 있다. 가령, 위의 확률가지에서는 B라고만 표현했지만 사실 B는 A조건부가 붙어있는 P(B|A)를 생략하여 B로 표시한 것이며 P(B ∩ A)으로 표기할 때도 있다. 가장 좋은 것은 B옆에 P(B l A)인지 P(B ∩ A)인지 구체적으로 표시해주는 것이 가장 좋으나 그림을 그릴 때 까먹어 버렸다...

③ 베이즈 이론을 통한 P(A l B)해석

ⅱ. 예시2

 3개의 상자 a,b,c가 있다. 상자 a에는 하얀공이 1개, 파랑공이 2개, 빨간공이 3개, 상자b에는 하얀공이 2개, 파랑공이 1개, 빨간공이 1개, 상자 c에는 하얀공이 4개, 파랑공이 5개, 빨간공이 3개 있다. 하나의 상자에서 하나의 흰공과 하나의 빨간공을 꺼냈을 때, 그 상자가 a일 확률을 구하라.

①언어적으로 제시된 문제를 수식화하기

상자 a에서 공을 꺼낸 사건을 A라하면 그 확률은 P(A)

상자 b에서 공을 꺼낸 사건을 A라하면 그 확률은 P(B)

상자 c에서 공을 꺼낸 사건을 A라하면 그 확률은 P(C)

하나의 상자에서 하나의 흰공과 하나의 빨간공을 꺼내는 사건을 K라하면 그 확률은 P(K) 로 정의할 수 있다.

이때 문제는, "하나의 상자에서 하나의 흰공과 하나의 빨간공을 꺼냈을 때, 그 상자가 a일 확률" 이므로

P(A l K)로 나타낼 수 있다.

②확률가지

③ 

풀이1) 베이즈 이론을 통한 P(A|K)해석

풀이2)

1. 단상관계수(単相関関係)

 2개의 변수 x와 y에 대해서 x의 값이 정해지면 반드시 y의 값이 정해지는 것은 아니다. 양 변수 사이의 직선적 (함수로서는 일차함수적) 관계성이 밝혀지면 「x와 y 간의 상관관계가 있다」고 말할 수 있다. 상관관계의 정도를 가르키는 수치를 「단상관계수」라고 부른다.

 단상관계수는 +-1에 가까울 때는 2개의 변수의 관계가 직선적이며, +-1로부터 멀어짐에 따라서 직선적 관계가 희미해진다. 0에 가까울 때에는 변수간의 관계가 직선적인 관계가 아니다.

공분산은 각 확률변수 X,Y의 편차의 곱의 평균이라고 할 수 있다.

상관계수는 각 확률변수 X,Y의 공분산을 각 표준편차의 곱으로 나눈 값이라고 할 수 있다.

ⅰ. 단상관계수 구하기

1. 확률변수의 표준화 

 확률변수의 표준화는 다음과 같은 경우 사용된다. 한국의 한 대학교에서 경제학과목 90점을 받은 A학생과 일본의 한 대학교에서 경제학과목 90점을 받은 B학생이 있다. 이둘은 경제학과목에서 같은 90점을 받았지만, 각각 시험에 응시한 학생들의 수준이나 시험의 난이도에 따라 같은 90점이 아닐 수 있다. 한 학교는 시험이 어려워서 90점이 최고점수인 반면 다른학교는 시험이 쉬워서 90점을 득점한 학생이 많을 수도 있기 때문이다. 따라서, 이러한 경우에는 90점이라는 점수가 각각의 시험에서 상위 몇 %에 해당하는지에 대한 "상대값"을 통하여만 비교가 가능하다. 이때 각각의 시험은 모두 평균, 분산, 표준편차 등이 다른데 서로 다른 대상을 표준화하여 비교를 용이하게 하기 위해 고안한 방법의 「확률변수의 표준화」이다.

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※정규분포란

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ⅰ. 확률변수의 표준화의 예

한국, 일본의 평균 초봉은 각각 250만원, 23만엔이고, 표준편차가 각각 15만원, 3만엔인 정규분포를 따른다고한다. 이때 한국에서 280만원을 받는 사람과 일본에서 26만엔을 받는 사람중 어느 사람이 상대적으로 더 많은 월급을 받는다고 할 수 있는가?

2. 표본평균의 평균과 분산

ⅰ.모평균과 모표본평균

보통 모평균과 모표본평균을 평균, 표본평균으로 부르지만 여기서는 표본평균의 평균, 표준편차와 구별하기 위해 엄격한 언어를 사용하기로 한다. 모집단의 분포에서 확률변수 X의 평균, 분산, 표준편차를 각각 모평균, 모분산, 모표준편차라고 한다. 

ⅱ. 표본평균sample mean

ⅲ.표본평균의 평균, 표본평균의 분산, 표본평균의 표준편차

 해운대의 해변에 있는 모래알의 크기를 측정한다고 할 때, 해변대 해변에 있는 모든 모래알을 모집단이라고 부른다. 이때 이중 100개만 뽑아서 그 표본들의 표본평균, 표본분산, 표본표준편차를 구할 때, 100개를 뽑는 방법은 매우 여러가지 이다. 그 자리에서 100개를 뽑을 수도 있고, 앞으로 네발자국 가서 100개를 뽑을 수도 있고, 뒤로 두발자국 가서 100개를 뽑을  수있다. 이때 100개씩 샘플링sampling을 한 여러 표본들의 각 표본평균을 측정할 수 있는데, 이 표본평균들의 평균과, 표본평균들의 분산과, 표본평균들의 표준편차가 다음과 같이 "알려져 "있다.

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※모평균, 모분산, 모표준편차 / 표본평균, 표본분산, 표본표준편차 /표본평균의  평균, 표본평균의 분산, 표본평균의 표준편차 를 구분할 것. 참고로 표본분산, 표본표준편차는 전 포스트에서 소개한 바가 있으므로 참고.

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3. 모평균의 추정

모평균의 추정이란, 표본sample으로 부터 얻은 자료 (평균, 분산 등)을 통해 모집단의 특성을 추측해보는 것이다. 예를 들어, 전에 있는 김밥값의 평균과 분산 등의 통계적 자료를 알아내고자 하는 경우, 서울에 있는 김밥집 약 30,000 여 곳의 가격을 일일이 조사하는 것은 무리가 있을 것이다. 따라서, 전국에서 난수를 통한 무작의 선별로 100곳을 선정해 표본의 통계적 자료만을 알아낸 후에 이 부분적인 표본(100개의 김밥집)을 통해 모평균(전국김밥집)의 통계적 자료를 알아내는 것의 모평균 추정의 목표이다. 신문등의 조사기관에서 여론조사 결과에 대해 이야기할 때 '신뢰도95%'니 '99%'니  하는 말들은 통계적 추정에 대한 말이다. 

ⅰ.신뢰도 95%와 신뢰도 99%에 해당하는 확률변수값을 표준정규분포표를 통해 찾기.

P(-z≤Z≤z)=0.95

2P(0≤Z≤z)=0.95

P(0≤Z≤z)=0.475

z=1.96

이고 마찬가지로 99%에 대한 확률변수값 z=2.58이다. 

ⅱ. 모평균의 추정에 관한 이해

위 그림에 세 개의 표본에 대한 표본평균 와 신뢰도95%의 신뢰구간이 나타나있다. A,B의 경우에는 신뢰구간에 모평균m이 들어있지만 C의 신뢰구간에는 m이 들어있지 않다. 신뢰도 95%라는 것은 표본에 따라 달라지는 신뢰구간에 모평균m이 들어있을 가능성이 95% 라는 것이다.

ⅲ. 신뢰구간을 구성하는 식의 이해

모집단이 정규분포 N(m,σ²)을 따를 때, 크기가 n인 표본은 정규분포 N(m,(σ²/n)을 따른다고 알려져 있다. 이를 표준화하는 과정을 거치면, 신뢰구간을 구성하는 식이 등장한다.

크기가 n인 표본은 정규분포 N(m,(σ²/n)을 표준화하면,

 일때,

(이때, 99%신뢰구간의 경우 1.96대신 2.58을 사용)